Η αναζήτηση του χαμένου θησαυρού

 

του ΓΙΑΝΝΗ ΚΑΛΟΚΥΡΗ, μαθητή Β' Λυκείου Άρρ. Ρεθύμνου

 

 

 

 

 

To παρακάτω άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρίας  «Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ», στο τεύχος Μαΐου-Ιουνίου 1979. Η προτεινόμενη λύση στηρίζεται στον ανυσματικό λογισμό (ομοιοθεσία, στροφή διανυσμάτων), αλλά υπάρχουν και διάφοροι άλλοι τρόποι λύσης, με χρήση της παραδοσιακής Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Πρόκειται για ένα κλασσικό πρόβλημα της Γεωμετρίας, που όμως εδώ δίνεται με έναν ενδιαφέροντα και πρωτότυπο τρόπο.

 

 

Ό Δρ. Grosse πρότεινε το παρακάτω ενδιαφέ­ρον πρόβλημα:

 

Έστω ότι βρίσκουμε ένα παλιό χάρτη, πού εικονίζει ένα νησί στο όποιο υπάρχει κρυμμένος ένας θησαυρός. Έκτός από το γεωγραφικό πλάτος και μήκος του νησιού, ο χάρτης έχει σχεδιασμέ­να πάνω του μια οξιά Β, μια βελανιδιά Ε, μια κρε­μάλα G, και δύο σημεία Β' και Ε', ανάμεσα στα όποια στη μέση ακριβώς είναι ο θησαυρός. Το σημείο Β' μπορεί να το βρει κανείς αν προχωρήσει από την κρεμάλα προς την οξιά, με­τρώντας τα βήματα και στραφεί κατόπιν αριστερά κατά 90°, κάνοντας τόσα βήματα όσα έκανε από την κρεμάλα μέχρι την οξιά. Με τον ίδιο τρόπο, στρεφόμενος όμως προς τα δεξιά κατά 90° βρίσκει κανείς το σημείο Ε’. Όταν όμως φθάσετε στο νησί, βρίσκετε τα δύο δένδρα, αλλά όχι και την κρεμάλα πού έχει εξα­φανισθεί τελείως, χωρίς ν' αφήσει το παραμικρό ίχνος. Πώς θα μπορέσετε τότε, να βρείτε που ακριβώς είναι ο θησαυρός ;

 

 

Λύση.  Στην αρχή σκεφτόμαστε ότι, για να βρούμε το σημείο που ‘ναι θαμμένος ο θησαυρός (ξέροντας μόνο τα δύο δέντρα και ότι αν γνωρίζαμε το G, θα προσδιορίζαμε τα Β', Ε' και συνεπώς τον θησαυρό), θα πρέπει ή κρεμάλα να παίζει απλώς βοηθητικό ρόλο στη λύση του προβλήματος, οπότε θα προχωρούσαμε στην αναζήτηση της λύσης, χωρίς να την λάβουμε υπ' όψη μας. Έτσι με τον παρακάτω αναλυτικό τρόπο διαπιστώνουμε ότι το σημείο του θησαυρού δεν εξαρτάται απ' το σημείο της κρεμάλας.

 

Έστω (g1,g2), (β12), (e1,e2) οι συντεταγμένες των σημείων G, Β, Ε (κρεμάλα και τα δύο δένδρα) ως προς ένα τυχαίο σύστημα αξόνων με σημείο Ο (το όποιο εκλέγεται αυθαίρετα).

Τότε οι συντεταγμένες των διανυσμάτων  GB και GΕ θα είναι  : [(β1-g1), (β2-g2)] και [(e1-g1), (e2-g2)].

 

Τα κάθετα προς αυτά διανύσματα ΒΒ' και ΕΕ' έχουν συντεταγμένες προβολές (στο ίδιο πάντα σύστημα αξόνων) τις εξής: (-β2+g2, β1-g1) και (e2-g2,-e1+g1).

Συνεπώς τα διανύσματα ΟΒ' και ΟΕ' έχουν συντεταγμένες, αντιστοίχως, τις :

12)+(-β2+g2, β1-g1) = (β12+g2, β21-g1)

(e1,e2)+(e2-g2,-e1+g1)=(e1+e2-g2, e2-e1+g1)

 

 

κατά τα  γνωστά από τον ανυσματικό λογισμό, με την παραδοχή ότι οι συντεταγμένες του σημείου Ο είναι (0,0). Έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του μέσου S (σημείο του θησαυρού) του τμήματος Β'Ε', ως εξής:

 

 

OS = (OB’ + OE’) / 2 =

[(β1-β2+g2, β2+β1-g1) + (e1+e2-g2, e2-e1+g1)] / 2 =

12+e1+e2 ,  β21+e2-e1) / 2

 

 

Παρατηρούμε αμέσως ότι oι συντεταγμένες (g1,g2)  της κρεμάλας απαλείφονται από τη σχέση του ανύσματος OS, πράγμα πού σημαίνει ότι ή κρεμάλα δεν παίζει κανένα ρόλο στη λύση του προβλήματος. Έτσι οποιοδήποτε σημείο κι αν πάρουμε θα παίζει τον ρόλο της κρεμάλας (του G). Έτσι για ευκολία παίρνουμε το σταθερό σημείο Β. Τότε το B’ ταυτίζεται με το Β και το Ε" βρίσκεται σιην κάθετο επί την BE και σε απόσταση ίση με την απόσταση των δύο δένδρων.

 

 

Άρα προσδιορίζεται το S σαν μέσο του BE". Μπορούσαμε (λόγω της παραπάνω αναλυτικής από­δειξης) να πάρουμε κι ένα οποιοδήποτε σημείο και να προσδιορίσουμε ύστερα το S.

 

 

 

Για να δείτε το άρθρο στην πρωτότυπη μορφή του, κάνετε κλικ εδώ

(Περιοδικό «Ευκλείδης» – αρχεία με παλιά τεύχη του περιοδικού από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία)